Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .

Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .

Размерность матрицы 2 3 4 5 6 7 8 9 10

См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Нахождение транспонированной матрицы A T .
2. Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
3. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.

Следующий алгоритм нахождения обратной матрицы аналогичен предыдущему за исключением некоторых шагов: сначала вычисляются алгебраические дополнения, а затем определяется союзная матрица C .

1. Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
2. Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
3. Определение алгебраических дополнений.
4. Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
5. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
6. Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1 . Запишем матрицу в виде:

Алгебраические дополнения.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:

A -1 = 1 / 10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.

1. Находим определитель данной квадратной матрицы A .
2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
3. Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
4. Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .

Как видим, операция транспонирования может применяться как в начале, над исходной матрицей, так и в конце, над полученными алгебраическими дополнениями.

Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .

>> Матрицы

4.1.Матрицы. Операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера mxn называется совокупность mxn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать ее в виде

или сокращенно в виде A = (a i j) (i = ; j = ), числа a i j , называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. A = (a i j) и B = (b i j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a i j = b i j .

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно -строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. A размера mxn, все элементы которой равны нулю, называются нулевой и обозначается через 0. Элементы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными и записываются так:

.

Если все элементы a i i диагонали равны 1, то она называется единичной и обозначается буквой Е:

.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Если в (4.1) переставим строки со столбцами, то получим

,

которая будет транспонированной по отношению к А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением А на число b называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов А умножением на число b: b A = (b a i j).

Суммой А = (a i j) и B = (b i j) одного размера называется C = (c i j) того же размера, элементы которой определяются по формуле c i j = a i j + b i j .

Произведение АВ определяется в предположении, что число столбцов А равно числу строк В.

Произведением AB, где А = (a i j) и B = (b j k), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется С = (c i k), элементы которой определяются по следующему правилу:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Иначе говоря, элемент произведения AB определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца С равен сумме произведений элементов i-й строки А на соответствующие элементы k-го столбца В.

Пример 2.1. Найти произведение AB и .

Решение. Имеем: А размера 2x3, В размера 3x3, тогда произведение АВ = С существует и элементы С равны

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с 22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

, а произведение BA не существует.

Пример 2.2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М 1 , М 2 и М 3 , причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М 1 стоит 50 ден. ед., в магазин М 2 - 70, а в М 3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через
В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

,

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

.

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.

Пример 2.3. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 . В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

	Расход ткани
Зимнее пальто
Демисезонное пальто

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е.,

,

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:

Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор C T:

.

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина

X А P T =
.

Итак, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед).

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
4. Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

Итак, сервисы по решению матриц онлайн:

Сервис работы с матрицами позволяет выполнить элементарные преобразования матриц.
Если у Вас стоит задача выполнить более сложное преобразование, то этим сервисом стоит пользоваться как конструктором.

Пример . Даны матрицы A и B , надо найти C = A -1 * B + B T ,

1. Вам стоит сначала найти обратную матрицу A1 = A -1 , воспользовавшись сервисом по нахождению обратной матрицы ;
2. Далее, после того, как нашли матрицу A1 выполним умножение матриц A2 = A1 * B , воспользовавшись сервисом по умножению матриц ;
3. Выполним транспонирование матрицы A3 = B T (сервис по нахождению транспонированной матрицы);
4. И последнее - найдем сумму матриц С = A2 + A3 (сервис по вычислению суммы матриц) - и получаем ответ с самым подробным решением!;

Произведение матриц

Это он-лайн сервис в два шага :

• Ввести первый сомножитель матрицу A
• Ввести второй сомножитель матрицу или вектор-столбец B

Умножение матрицы на вектор

Умножение матрицы на вектор можно найти, воспользовавшись сервисом Умножение матриц
(Первым сомножителем будет данная матрица, вторым сомножителем будет столбец, состоящий из элементов данного вектора)

Это он-лайн сервис в два шага :

• Введите матрицу A , для которой нужно найти обратную матрицу
• Получите ответ с подробным решением по нахождению обратной матрицы

Определитель матрицы

Это он-лайн сервис в один шаг :

• Введите матрицу A , для которой нужно найти определитель матрицы

Транспонирование матрицы

Здесь Вы сможете отследить алгоритм транспонирования матрицы и научиться самому решать подобные задачи.
Это он-лайн сервис в один шаг :

• Введите матрицу A , которую надо транспонировать

Ранг матрицы

Это он-лайн сервис в один шаг :

• Введите матрицу A , для которой нужно выполнить нахождение ранга

Собственные значения матрицы и собственные вектора матрицы

Это он-лайн сервис в один шаг :

• Введите матрицу A , для которой нужно найти собственные вектора и собственные значения (собственные числа)

Возведение матрицы в степень

Это он-лайн сервис в два шага :

• Введите матрицу A , которую будете возводить в степень
• Ввести целое число q - степень

Матрицы в математике - один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Часто экскурс в теорию матриц начинают со слов: "Матрица - это прямоугольная таблица...". Мы начнём этот экскурс несколько с другой стороны.

Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте - ни что иное, как матрицы. Такие матрицы имеют примерно следующий вид:

Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день. Эти матрицы бывают с различным числом строк (различаются как выпущенный телефонной компанией справочник, в котором могут быть тысячи, сотни тысяч и даже миллионы строк и только что начатая Вами новая записная книжка, в которой меньше десяти строк) и столбцов (справочник должностных лиц какой-нибудь организации, в котором могут быть такие столбцы, как должность и номер кабинета и та же Ваша записная книжка, где может не быть никаких данных, кроме имени, и, таким образом, в ней только два столбца - имя и телефон).

Всякие матрицы можно складывать и умножать, а также проводить над ними другие операции, однако нет необходимости складывать и умножать телефонные справочники, от этого нет никакой пользы, к тому же можно и подвинуться рассудком.

Но очень многие матрицы можно и нужно складывать и перемножать и решать таким образом различные насущные задачи. Ниже примеры таких матриц.

Матрицы, в которых столбцы - выпуск единиц продукции того или иного вида, а строки - годы, в которых ведётся учёт выпуска этой продукции:

Можно складывать матрицы такого вида, в которых учтён выпуск аналогичной продукции различными предприятиями, чтобы получить суммарные данные по отрасли.

Или матрицы, состоящие, к примеру, из одного столбца, в которых строки - средняя себестоимость того или иного вида продукции:

Матрицы двух последних видов можно умножать, а в результате получится матрица-строка, содержащая себестоимость всех видов продукции по годам.

Матрицы, основные определения

Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется mn-матрицей (или просто матрицей ) и записывается так:

(1)

В матрице (1) числа называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, n ).

Матрица называется прямоугольной , если .

Если же m = n , то матрица называется квадратной , а число n – её порядком .

Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A . Он обозначается символом |A |.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной , несингулярной ), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной , сингулярной ), если её определитель равен нулю.

Матрицы называются равными , если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.

Матрица называется нулевой , если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или .

Например,

Матрицей-строкой (или строчной ) называется 1n -матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой ) – m 1-матрица.

Матрица A " , которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A . Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица

Операция перехода к матрице A " , транспонированной относительно матрицы A , называется транспонированием матрицы A . Для mn -матрицы транспонированной является nm -матрица.

Транспонированной относительно матрицы является матрица A , то есть

(A ")" = A .

Пример 1. Найти матрицу A " , транспонированную относительно матрицы

и выяснить, равны ли определители исходной и транспонированной матриц.

Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными .

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной . Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.

Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей .

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Пример 2. Даны матрицы:

Решение. Вычислим определители данных матриц. Пользуясь правилом треугольников, найдём

Определитель матрицы B вычислим по формуле

Легко получаем, что

Следовательно, матрицы A и – неособенные (невырожденные, несингулярные), а матрица B – особенная (вырожденная, сингулярная).

Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Даны матрицы

,

,

Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).

Применение матриц в математико-экономическом моделировании

В виде матриц просто и удобно записываются структурированные данные о том или ином объекте. Матричные модели создаются не только для хранения этих структурированных данных, но и для решения различных задач с этими данными средствами линейной алгебры.

Так, известной матричной моделью экономики является модель "затраты-выпуск", внедрённая американским экономистом русского происхождения Василием Леонтьевым. Эта модель исходит из предположения, что весь производственный сектор экономики разбит на n чистых отраслей. Каждая из отраслей выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли выпускают разную продукцию. Из-за такого разделения труда между отраслями существуют межотраслевые связи, смысл которых состоит в том, что часть продукции каждой отрасли передаётся другим отраслям в качестве ресурса производства.

Объём продукции i -й отрасли (измеряемый определённой единицей измерения), которая была произведена за отчётный период, обозначается через и называется полным выпуском i -й отрасли. Выпуски удобно разместить в n -компонентную строку матрицы.

Количество единиц продукции i -й отрасли, которое необходимо затратить j -й отрасли для производства единицы своей продукции, обозначается и называется коэффициентом прямых затрат.